Xi مقدار حقیقی جزء i است. دسته بندی ای برای xi است که از قوانین j پیروی می کند، و n شماره دسته بندی ها است.
– فاصله تا مرجع:
Nardo et al., (2005) استفاده از این روش توسط Parker (1991) مطرح شد با عنوان (نگرانی درباره مشکلات محیط زیست). در این برنامه مقادیر اجزاء یک کشور (یا میانگین مقادیر کشورهای مختلف) به عنوان مرجع استفاده شدند. مقادیر زیر شاخص، اجزاء مربوطه از کشورهای دیگر بر اساس شرایط نسبی آنها به مقادیر مرجع مورد بررسی قرار گرفت.
معادله کلی برای استفاده از این روش به شکل زیر است :
(2-5)
مقدار زیر شاخص برای جزء i است، مقدار واقعی برای شاخص و مقدار واقعی استفاده شده از مرجع می باشد.
2-3-3 بدست آوردن وزن ها:
در توسعه شاخص ها، وزن ها در انباشتگی اجزاء مورد استفاده قرار می گیرد، و به توسعه دهندگان شاخص (یا کاربران) اجازه می دهد تا وزن های مختلفی به شاخص ها اختصاص دهند. به طور کلی، Nardo et al.(2005) روش های وزن بندی را در دو گروه گسترده طبقه بندی می کند که عبارتند از: روش های مبتنی بر آمار و روش های مبتنی بر مشارکت. در روش سابق وزن ها بر اساس تجزیه و تحلیل اطلاعات اجزاء تعیین می شدند، در روش دوم وزن بر اساس نظر کارشناسان و عموم مردم داده می شود. انتخاب های کارشناسان ممکن است شامل قضاوت های شخصی و ذهنی شود که در این صورت آوردن توجیه و دلیل این انتخاب توسط آنها الزامی است. روش هایی مانند تحلیل عاملی (FA)، آنالیز اجزای اساسی (PCA) و مدل اجزای مشاهده نشده (UCM) نمونه هایی از روش تعیین وزن بر اساس آمار هستند. به طور کلی در FA/PCA تعیین وزن بر اساس فاکتور بارگذاری هر جزء در شاخص نهایی تعیین می شود. استفاده از FA/PCA به منظور تعیین وزن شامل چهار مرحله می شود: اولین مرحله تجزیه و تحلیل ارتباط اجزاء است، اگر ارتباطی وجود نداشته باشد این احتمال وجود دارد که اجزاء فاکتور اشتراکی ای نداشته باشند. سپس، در این گونه موارد که در آن اجزاء مرتبط نیستند، وزن های یکسانی به اجزاء اختصاص داده می شود. در هر صورت احتمال اینکه اجزاء به طور کامل هیچ ارتباطی با هم نداشته باشند بعید به نظر می رسد. اگر ارتباط وجود داشت، مرحله دوم، شناسایی فاکتور های مشترک، گروه های نماینده اجزاء است. در PCA فاکتورها به عنوان اجزای (اصلی) شناخته می شوند. هر فاکتور نشان می دهد که فاکتور چقدر خوب در توضیح تغییرپذیری کلی عمل می کند. قدم سوم تعیین سهم هر جزء به آن فاکتور مربوطه که در آنالیز بارگذاری فاکتور استفاده می شود است. سپس، گام نهایی محاسبه وزن بر اساس عامل مشترک و آنالیز فاکتور بارگذاری است. بالاترین وزن ها به اجزایی با فاکتور بارگذاری بالا و درصد بالا در توضیح متغیر کلی داده می شود (Nardo et al., 2005). در هر مورد، چه ارتباط قوی و یا ضعیف باشد، در توضیحات روابط نیاز به ارایه معیار های مشخص و مستندمی باشد.در روش UCM فرض می شود که اجزاء یک شاخص به سایر فاکتورهای ناشناخته وابسته هستند. این عوامل به عنوان اجزای مشاهده نشده نامگذاری شده اند. (Harvey and Koopman, 2000; Nardo et al., 2005). وابستگی در اجزای مشاهده نشده و همچنین خطاهای مرتبط با هر جزء یک شاخص، توسط واریانس هر معرف نشان داده می شود. برای استفاده از این روش، قدم اول محاسبه واریانس هر جزء از شاخص است. سپس، مجموع تغییرات معرف های دیگر نیز محاسبه می شود. جزء به نسبت کاهش واریانس افزایش می یابد وبه مجموع واریانس دیگر اجزاء افزایش می یابد تغییرات در یک شاخص کاهش یافته، و به عنوان مجموع تغییرات دیگر شاخص ها افزایش می یابد (Nardo et al., 2005).در روش مبتنی بر مشارکت، متد هایی از قبیل تخصیص بودجه (BAL)، پروسه سلسله مراتبی تحلیلی (AHP) و روش اصلاح شده Simos در دسترس می باشد. روش BAL برای تخصیص وزن ها برای اجزاء مختلف بر اساس تعیین بودجه توسط کارشناسان انتخاب شده مورد استفاده قرار می گیرد. کارشناسان بودجه های مشخصی برای تخصیص به هر یک از اجزاء تقاضا می کنند. هنگامی که بودجه اختصاص داده شد، وزن براساس بودجه محاسبه می شود. اگر لازم باشد (اختیاری) تا زمانی که کارشناسان به همگرایی برسند، تخصیص بودجه تکرار می شود (Nardo et al., 2005).
روش AHP یک تکنیک تصمیم گیری چند معیاره است، که در زمینه های مختلفی مانند خدمات مشتری (Kwong and bai, 2002)، طراحی عملیاتی (Macharis et al., 2004) و محافظت از آب (Zhang 2009)، استفاده می شود. از این روش برای تعیین وزن معیار های مختلف در تصمیم گیری استفاده می شود. با استفاده از AHP، وزن ها از طریق مقایسه دو به دو معیارهای شناخته شده تعیین می شود. این روش جهت تعیین وزن معیارها در جایی که قضاوت کیفی کارشناسان و عموم مردم دخالت داشت مفید بوده است. روش اصلاح شده Simos به دنبال تخصیص وزن به اجزای مختلف بر اساس اولویت تصمیم گیرندگان انتخاب شده(DMS) می باشد (Koidkaraetal.,2010). با استفاده از این روش، وزن اجزای مختلف از طریق توزیع برگ ها به تصمیم گیرندگان انتخاب شده حاصل می شود. که هر برگ نمایانگر یک جزء است. همراه با این کارت ها برای نمایش هر جزء ، تصمیم گیرندگان نیز کارت های خالی را می دهند. سپس تصمیم گیرندگان کارت ها را به ترتیب اهمیت، از کمترین تا بیشترین اهمیت مرتب می کنند. وزن اجزاء بر اساس ترتیب این کارت ها محاسبه می شود. یک نمونه از این روش را می توان با مطالعه در عملیات چند منظوره سیستم های تامین آب شهری Kodikara(2008)و Kodikaraetal.(2010) یافت.
2-3-4-انباشتگی: در توسعه یک شاخص، انباشتگی ممکن است در مراحل پی در پی رخ دهد. دو روش معمول برای انباشتگی زیر شاخص ها روش محاسباتی و هندسی هستند. روش محاسباتی از طریق جمع مقادیر وزن زیر شاخص ها ، همانطور که در معادله زیر نشان داده شده است بکار گرفته می شود (Nardo et al., 2005).
(2-6)
که I در آن نشان دهنده شاخص انباشته شده، N تعداد اجزاء جمع بندی شده، Si زیر شاخصی برای جزء i و Wi وزن جزء i است. با استفاده از این روش، جایگزینی و جبران پذیری کامل در میان تمام زیر شاخص ها رخ می دهد(Nardo et al., 2005). به این معنی که مقادیر کم برخی از زیر شاخص ها توسط مقادیر بالای دیگر شاخص ها جبران می شود. در نتیجه، ممکن است در موارد مختلف، یک شاخص مقادیر شاخص انباشته شده یکسان داشته باشد، حتی در صورتی که مقادیر زیر شاخص ها برای هر یک از این موارد تفاوت کاملاً قابل ملاحظه ای داشته باشد، اما به طور متوسط میانگین وزنی مقادیر در تمام مواردیکسان است.
روش معمول دیگری که برای انباشتگی مورد استفاده قرار می گیرد روش هندسی است که در معادله زیر نمایش داده شده است (Swameeandtyagi,2000):
(2-7)
نمادهای معادله فوق همان هایی که برای معادله قبلی ذکر شد می باشند. در مقایسه با روش محاسباتی، روش هندسی جایگزینی و جبران پذیری کامل در میان مقادیر زیر شاخص های اجزاء ایجاد نمی کنند. نتیجتاً دو مورد با تفاوت قابل ملاحظه ای در زیر شاخص هایشان، حتی اگر میانگین مقادیر زیر شاخص های وزن شده شان یکسان باشد، ارزش شاخص انباشته شده ی متفاوتی دارند. بنابراین، اگرتفاوت مقادیر زیر شاخص ها مهم است، استفاده از روش هندسی مناسب تر است.

شکل 2-1 – مقایسه روش انباشتگی محاسباتی وهندسی4

به این نکته باید توجه داشت که در دو معادله قبلی شاخص های انباشته شده از طریق اجزاء بدست آمده است. با این حال می تواند به همان شکل معادله ها در سطوح مختلف انباشتگی استفاده شود.
2-3-5 آنالیز توانمندی شاخص:
آنالیز نیرومندی شاخص به توانایی شاخص برای بکارگیری تحت شرایط مختلف، از جمله مکان های مختلف، مجموعه های از اجزاء و روش های پیچیده در محاسبه شاخص نهایی مربوط است. آنالیز نیرومندی برای ارایه درک بهتر در مورد نقاط ضعف و قوت شاخص ، به سهامدارن مربوطه، به ویژه کاربران شاخص ها مفید است. تجزیه و تحلیل نیرومندی معمولاً توسط انجام آنالیز حساسیت و پذیرفتن عدم قطعیت در شاخص ها انجام می شود. به طور کلی در این آنالیز تلاش به تجزیه و تحلیل تاثیرات عدم قطعیت در ارزش های ورودی و خروجی است (Saisana et al., 2005).

2-4- شاخص فقر آبی
انتخاب (اجزا) برای WPI بر اساس اجماع کارشناسان اجتماعی و فیزیک، کاروران آب، محققان و سایر ذینفعان انجام شده است (Lawrence et al., 2003). این کارشناسان در مورد رابطه میان فقر آب و فقر درآمد توجه داشته اند. فقر آب در مواردی که مردم به منابع آب دسترسی دارند، اما آب موجود مناسب و کافی نیست نمایان شده است، در حالی که فقر درآمد زمانی که موجودی آب کافی است اما مردم دسترسی به منابع آب ندارند نمایان شده است. بنابراین، ارزیابی عملکرد منابع آب نمی تواند با نادیده گرفتن فاکتورهای اجتماعی و اقتصادی مربوط به منابع آب حاصل شود (Lawrence et al., 2003).
برای بدست آوردن مقادیر زیر شاخص های اجزاءWPI، روش مقیاس دهی پیوسته استفاده می شود. حداقل و حداکثر مقادیر استفاده شده برای هر یک از شاخص های WPI به عنوان کمترین و بیشتری مقدار حقیقی در میان کشورهای شرکت کننده قرار می گیرد (Lawrence et al., 2003). مقدار زیر شاخص های اجزاء WPI محدوده ای از 0 تا 1 دارند.
در چارچوب اصلی WPI، هیچ طرح وزن بندی خاصی پیشنهاد نشده است. (Sullivan et al 2006) عقیده دارد که مسئولیت تعیین وزن شاخص باید به تصمیم گیرندگان محول شود، نه به محققان. در استفاده از WPI کاربران مجازند تعریف وزن بندی خودشان را به شاخص های WPI اختصاص دهند. با این حال (Sullivan et al 2006) براهمیت مشاوره روشن با ذینفعان مربوطه در مورد تعیین وزن تاکید دارند. در طول برنامه اول WPI برای تمامی اجزاء وزن برابر به کار گرفته شد (Lawrence et al., 2003)
دو فرآیند انباشتگی در WPI مورد استفاده قرار گرفته. اولین انباشتگی برای ترکیب مقادیر زیر شاخص های اجزاء مختلف در مولفه ها با استفاده از روش انباشتگی محاسباتی استفاده شده. درحالیکه اجزاء وزن مساوی داشتند مقدار شاخص برای هر جزء میانگین مقدار زیر شاخص برای هر مولفه است. هنگامی این ارزش ها برای پنج جز مولفه های WPI بدست آمد با استفاده از روش محاسباتی با وزن برابر برای بدست آوردن مقدار شاخص نهایی با دامنه ای از 0 تا 100 انباشته می شوند (Lawrence et al., 2003).