پایان نامه با کلمات کلیدی استاندارد

v_r (∂v_φ)/∂r+v_θ/r (∂v_φ)/∂θ+v_φ/r (v_r+v_θ cot⁡θ )=-1/(ρr^3 ) ∂/∂r (r^3 t_rφ )
و انرژی:
(3-40) ρ(v_r ∂e/∂r+v_θ/r ∂e/∂θ)-p/ρ (v_r ∂ρ/∂r+v_θ/r ∂ρ/∂θ)=ft_rφ r ∂/∂r (v_φ/r)
3-5 روش خود مشابه برای حل معادلات
در اینجا برای حل معادلات مذکور از روش خودمشابهی استفاده می کنیم. روش خودمشابهی یکی از روش های بسیـار رایج در حل معـادلات در اختـرفیزیک به شمار می رود. در این روش کمیت های فیزیکی به صورت تابع بدون بعدی از یک متغیر بیان شده و پس از اعمال تغییر متغیر مورد نظر، دسته معادلات، به معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل می شوند که با استفاده از روش های عددی قابل حل می باشند. در اینجا ما رفتار توابع مختلف را تابعی توانی از r در نظر گرفته و تغییر متغیر زیر را اعمال می کنیم:
(3-41) ρ=ρ(θ) r^(-n)
(3-42) v_r=v_r (θ) √(GM/r)
(3-43) v_θ=v_θ (θ) √(GM/r)
(3-44) v_φ=v_φ (θ) √(GM/r)
(3-45) p=p(θ)GMr^(-n-1)
حال معادلات (3-41) تا (3-45) را در معادلات (3-8) تا (3-11) و (3-21) جاگذاری می کنیم و آنگاه خواهیم داشت:
(3-46) 2v_θ (θ) dρ(θ)/dθ+ρ(θ)[(3-2n) v_r (θ)+2(v_θ (θ) cot⁡θ+(dv_θ (θ))/dθ)]=0
(3-47) 2(n+1)p(θ)+ ρ(θ)[〖v_r (θ)〗^2+2(-1+〖v_θ (θ)〗^2+〖v_φ (θ)〗^2-v_θ (θ) (dv_r (θ))/dθ)]=0
(3-48) 2 dp(θ)/dθ+ρ(θ)[-2 cot⁡〖θ〖v_φ (θ)〗^2+v_θ (θ)(v_r (θ)+2 (dv_θ (θ))/dθ)〗 ]=0
(3-49) -2(n-2)αp(θ)+ρ(θ)[v_r (θ) v_φ (θ)+2v_θ (θ)(cot⁡θ v_φ (θ)+(dv_φ (θ))/dθ)]=0
(3-50) 2ρ(θ) v_θ (θ) dp(θ)/dθ
+p(θ){ρ(θ)[2(nγ_equ-n-1) v_r (θ)-3αf(γ_equ-1) v_φ (θ)]-2γ_equ v_θ (θ) dρ(θ)/dθ}=0
اکنون 5 دسته معادله جفت شده داریم که برای حل آن باید ابتدا دیفرانسیل ها را جدا کنیم. بدین معنی که معادلات را ترکیب کرده و هر معادله را بر حسب یک دیفرانسیل بنویسیم. پس از انجام این کار خواهیم داشت:
(3-51) (dv_r (θ))/dθ=1/(2ρ(θ) v_θ (θ) ) (2p(θ)(n+1)+ρ(θ)(〖v_r (θ)〗^2-2)+2ρ(θ)(〖v_θ (θ)〗^2+〖v_φ (θ)〗^2 ))
(3-52) (dv_θ (θ))/dθ=(-1)/2(-p(θ) γ_equ+ρ(θ) 〖v_θ (θ)〗^2 ) [3αfv_φ (θ)p(θ)(γ_equ-1)+v_r (θ)p(θ)(2+n-3γ_equ )-2v_θ (θ) cot⁡θ (p(θ) γ_equ+〖v_φ (θ)〗^2 ρ(θ))+v_r (θ) 〖v_θ (θ)〗^2 ρ(θ)]
(3-53) (dv_φ (θ))/dθ=1/(2ρ(θ) v_θ (θ) ) (2αp(θ)(n-2)-v_φ (θ)ρ(θ)(v_r (θ)+2v_θ (θ) cot⁡θ ))
(3-54) dp(θ)/dθ=p(θ)ρ(θ)/2(-p(θ) γ_equ+ρ(θ) 〖v_θ (θ)〗^2 ) [3αfv_θ (θ) v_φ (θ)(γ_equ-1)+2v_r (θ) v_θ (θ)(1+n)-2γ_equ cot⁡θ (〖v_θ (θ)〗^2+〖v_φ (θ)〗^2 )-2γ_equ v_r (θ) v_θ (θ)]
(3-55) dρ(θ)/dθ=ρ(θ)/(2v_θ (θ)(-p(θ) γ_equ+ρ(θ) 〖v_θ (θ)〗^2 ) ) (-2 cot⁡θ v_θ (θ)ρ(θ)(〖v_φ (θ)〗^2+〖v_θ (θ)〗^2 )+2v_r (θ) 〖v_θ (θ)〗^2 ρ(θ)(n-1)+2v_r (θ)p(θ)(-nγ_equ+n+1)+3p(θ)αfv_φ (θ)(γ_equ-1))
در این معادلات توابع v_r (θ) ، v_θ (θ) ، v_φ (θ) ، p(θ) و ρ(θ) بدون بعد بوده وθ متغیر است و مقادیر α، f، γ_equ و n داده های ورودی هستند. فرض می کنیم که ساختار قرص در صفحه استوایی متقارن بوده و بنابراین در زاویه 90 درجه و روی صفحه استوایی داریم:
(3-56) v_θ (90)=dρ/dθ=dp/dθ=(dv_r)/dθ=(dv_φ)/dθ=0
و برای آخرین شرط مرزی داریم ρ(〖90〗^° )=1 که اگر آهنگ برافزایش موثر در یک شعاع خاص معین باشد، می تواند توسط یک فاکتور مقیاس نرمالیزه شود. این شرایط مرزی برای ما کافی است و احتیاجی به معرفی شرایط مرزی اختیاری نیست. همچنین لازم به ذکر است که وقتی در محاسبات عددی از صفحه استوایی با زاویه 90 درجه کار را آغاز می کنیم نمی توانیم تا زاویه صفر درجه یا همان محور عمودی چرخش قرص پیش برویم زیرا از یک زاویه میل خاص در نزدیکی محور عمودی به بعد با خطای عددی مواجه می شویم و دلیل این امر این است که روش خودمشابهی توانایی تشریح این ناحیه که همان ناحیه جت است را ندارد. بنابراین ما تنها قادر خواهیم بود که ناحیه جریان ورودی و خروجی را تا مرز جت بررسی کنیم که البته برای کار ما کاملا کافی و جوابگو می باشد.
3-6- حل عددی و بررسی نتایج
در بخش قبل توانستیم به 5 دسته معادله جفت شده برسیم که به روش عددی قابل حل می باشند. برای حل این معادلات احتیاج به مقادیر پارامترهای ثابتی داریـم که در آن ها به کار رفته است. مقـدار α می تواند هم به واسطه مشاهده و هم توسط شبیه سازی های MRI83 به دست آید. کینگ84 در سال 2007 میلادی نشان داد که مقدار α برای قرص های یونیده برابر با 01/0 می باشد [105]، در حالیکه مشاهدات رصدی عددی بین 1/0 تا 4/0 را نشان می داد، البته تعیین مبتنی بر مشاهده α، به شدت وابسته به مدل است و اینکه مقدار α برای قرص های یونیده داغ چقدر باید باشد، همچنان سوالی بدون جواب است. ما در این کار α=0/1 را در نظر می گیریم. برای مقدار فاکتور پهن رفت f هم چنانچه قرص های استاندارد مد نظر باشند مقدار 01/0 و چنانچه قرص های با پهن رفت غالب مد نظر باشند، مقدار 1 خواهد داشت. همچنین مقدار γ_equ هم برای حالات فشار تابشی غالب و فشار گاز غالب به ترتیب مقادیر 4/3 و 5/3 را می پذیرد. برای حل معادلات احتیاج به مقادیر اولیه هر کدام از متغییر ها نیز داریم که با توجه به معادلات (3-46) تا (3-50) و (3-56) به دست می آیند. پس از جاگذاری (3-53) در معادلات (3-47)، (3-49) و (3-50) خواهیم داشت:
(3-57) 2(n+1) p(θ)/ρ(θ) +〖v_r (θ)〗^2+2(〖v_φ (θ)〗^2-1)=0
(3-58) -2(n-2)α p(θ)/ρ(θ) +v_r (θ) v_φ (θ)=0
(3-59) 2(nγ_equ-n-1) v_r (θ)-3αf(γ_equ-1) v_φ (θ)=0
معادله (3-57) تعادل هیدرودینامیکی را در جهت شعاعی بین گرادیان فشار، نیروی مرکزگرا و نیروی گرانشی نشان می دهد؛ که شتاب v_r را تعیین می کند. معادله (3-58) چگونگی تاثیر وشکسانی روی آهنگ انتقال تکانه زاویه ای را در صفحه استوایی مشخص می کند و در نهایت معادله (3-59) مکانیزم انرژی جریان برافزایشی،که به صورت آنتروپی پهن رفت شد را تشریح می کند.
لازم به ذکر است که طبق شکل (3-3) قرص به سه ناحیه جریان ورودی، جریان خروجی و جت تقسیم می شود که در نمودارها زوایای با سرعت شعاعی منفی بیانگر ناحیه جریان ورودی و زوایای با سرعت شعاعی مثبت بیانگر ناحیه جریان خروجی یا باد می باشند که مرز بین این دو ناحیه را با θ_0 نشان می دهیم که سرعت شعاعی در آن صفر می باشد و انتهای ناحیه جریان خروجی را که مرز انتهایی حل می باشد و ابتدای ناحیه جت هم محسوب می شود با θ_b نشان می دهیم. لازم به ذکر است که در اینجا زوایا از روی صفحه استوایی بیان شده اند.
حال می توانیم به بررسی ساختار قرص در حالات مختلف بپردازیم.
قرص های استاندارد
در این قسمت به بررسی قرص های استاندارد در حالات مختلف می پردازیم.
حالت اول:
قرص استاندارد شاکورا و سانیو که در آن گاز تک اتمی ایده آل با فشـار گاز غالب بررسـی می شود و خصوصیات آن عبارتند از: α=0/1 ، n=1/3 ، f=0/01 و γ_equ=5/3.
با حل معادلات (3-51) تا (3-55) به بررسی رفتار v_r (θ) ، v_θ (θ) ، v_φ (θ) ، p(θ) و ρ(θ) بر حسب θ می پردازیم که به ترتیب در شکلهای (3-4) تا (3-8) رسم شده اند.
همانطور که در شکل (3-4) مشخص است، شاهد جریان خروجی در قرص استاندارد با فشار گاز غالب هستیم که البته کوچکتر از ناحیه جریان ورودی می باشد و همانطـور که در شکل (3-5) مشخص است، سرعت زاویه ای که روی صفحه استوایی مقداری برابر با صفر دارد، با کاهش زاویه و حرکت زاویه ای به سمت محور قرص، افزایش یافته و همواره علامت آن منفی می باشد.
طبق شکل (3-6) سرعت سمتـی هم با شیب تقریبا یکنواختـی به سمت 1 میل می کند و طبـق شکلهای (3-7) و (3-8) فشـار و چگالی هم با کاهـش زاویه، کاهش یافته و به سمت صفر میـل می کنند.
حالت دوم:
حالت دوم:
حالت دوم:
قرص استاندارد شاکورا و سانیو که در آن گاز تک اتمی ایده آل با فشار تابشی غالب بررسی می شود و خصوصیات آن عبارتند از: α=0/1 ، n=1/3 ، f=0/01 و γ_equ=4/3.
در این حالت هم با ساختاری مشابه با قسمت قبل مواجه هستیم و تنها تفاوت کوچکتر شدن مجموع نواحی جریان ورودی و خروجی می باشد.
3-7 اثرات میدان مغناطیسی چنبرهای خارجی بر قرص برافزایشی استاندارد
میدان مغناطیسی چه از لحاظ ایجاد ناپایداری و چه از لحاظ انتقال تکانه زاویه ای، نقش بسزایی در تعیین ساختـار قرص های برافزایشـی دارد. البته از آنجاییـکه میدان مغناطیسـی بر ذرات باردار اثر می گذارد، بنابراین در محیط های با درصد یونیدگی بالا کارایی داشته و چنانچه یونیدگی پایین باشد نقش چندانی در انتقال تکانه زاویه ای نخواهد داشت [83،114،120].
بالبـاس و هاولـی در سـال 1991 میلادی به بررسـی قرص هـای هیدرودینامیکـی و مغناطوهیدرودینامیکی پرداختند و دریافتند که یک ناپایداری خطی MHD به واسطه یک میدان مغناطیسی ضعیف می تواند باعث از بین رفتن ناپایداری شود و محیطی برای تقویت تلاطم MHD به وجود آورد [62،67، 69، 115، 121].
میدان مغناطیسی به شیوه های گوناگونی می تواند منجر به انتقال تکانه زاویه ای شود. . حتی اگر میدان مغناطیسی نتواند به درون قرص نفوذ کند، می تواند با تشکیل حلقه های تاجی شکل به طور موثری منجر به انتقال تکانه زاویه ای شود [122، 123]. همچنین مطالعاتی در رابطه با فرایند جفت شدگی مغناطیسی به عنوان روشی موثر در انتقال انرژی و تکانه زاویه ای از یک سیاهچاله چرخنده به قرص برافزایشی احاطه کننده اش صورت پذیرفته است [ 124، 125، 126، 127]؛ البته از این فرایند می توان به عنوان یکی از متغیرهای فرایند بلندفورد-زناچک85 (BZ) یاد کرد [128، 129].
فوکو86 و همکارانش هم در سال 2006 میلادی یک میدان مغناطیسـی چنبره ای را بر روی قرص های برافزایشی اثر داده و با استفاده از روش خودمشابهی توانستند سرعت های شعاعی و سمتی را بدست آورند [130].
3-8- حل معادلات در حضور میدان مغناطیسی چنبرهای خارجی و بدون رسانندگی
معـادلات را به گونـه ای می نویسیم که در آن ها ضرایب انتقال مانند وشکسانی، اسکالر و ثابت فرض می شوند.
معادله پیوستگی بدون تغییر می ماند.
(3-60) ∂ρ/∂t+∇.(ρu)=0

مطلب مشابه :  منبع مقاله با موضوعحمل و نقل

Author: admin3

دیدگاهتان را بنویسید