پایان نامه با کلمات کلیدی حل مسئله

جریان در یک پلاسمای در حال حرکت، شکل خطوط میدان مغناطیسی را تغییر می دهد، در حالیکه میدان الکترومغناطیسی نیز روی بارها اثر میگذارد و باعث جریان می شود. نفوذ میدان مغناطیسی
در جریان گاز، کاملاً پیچیده است. اگر سیال رسانندگی الکتریکی بالایی داشته باشد، آنگاه سیال و میدان مغناطیسی با یکدیگر در یک جهت حرکت خواهند کرد. با استفاده ازمعادله اولر اهمیت نسبی فشار لبه82، فشار گاز و فشار مغناطیسی به صورت زیر داده می شود
(3-15)
اگر فشار حاکم فشار مغناطیسی باشد، میدان سرعت سیال توسط خطوط میدان مغناطیسی تشخیص داده می شود. اگر فشار لبه فشار حاکم باشد، سپس خطوط میدان مغناطیسی توسط سیال به اطراف کشیده میشوند به نحوی که گویی میدان مغناطیسی غایب است. در حالت میانه
(3-16)
میدان مغناطیسی سیال را حرکت می دهد، اما خودش بوسیله فشار گاز محدود می شود. به عنوان مثال همانطور که در شکل (3-2) دیده می شود، زمانی که میدان قطبیوار ستاره مرکزی وارد یک قرص نازک می شود به علت حرکت سمتی میدان مغناطیسی یک مؤلفه چنبره ای پیدا می کند [56].
از تساوی چگالی های مغناطیسی و جنبشی, سرعت آلفن به صورت زیر تعریف می شود
(3-17) V_A=[B^2/4πρ]^(1/2)
V_A سرعتی است که اختلال مغناطیسی در پلاسما با این سرعت پخش می شود. از معادله (3-17) و (3-15) را می توان به صورت زیر نوشت
(3-18)
با توجه به (3-18) و مطالب قبل می توان قضاوت در مورد اهمیت نسبی جملات را روی مقادیر سرعتها بنا کرد. بنابراین نیروی مغناطیسی زمانی حاکم است که سرعت آلفن بزرگترین سرعت در سیستم باشد.
3-3-معادلات حاکم بر دینامیک قرص های برافزایشی
قرص های برافزایشی از گازها تشکیل می شوند و روابطی که دینامیک آن ها را توصیف می کند قوانین حاکم بر شاره هاست. بنابراین برای توصیف ساختار قرص می توانیم از معادلات دینامیـک شاره ها استفاده کنیم. معادلاتی که حرکت المان های شاره را توصیف می کنند بر اساس مفاهیمی شکل گرفته اند که از مکانیک نیوتونی اقتباس شده اند و عبارتند از بقای جرم، اندازه حرکت و انرژی.
معادله پیوستگی جرم:
(3-19) ∂ρ/∂t+∇.(ρu)=0
که به معادله پیوستگی اویلری معروف بوده و در آن ρ چگالی شاره و u بردار سرعت می باشد. جمله اول معادله بیانگر تغییرات چگالی نسبت به زمان است که منجر به حضور جمله دوم می شود، زیرا دیورژانس در جمله دوم بیانگر وجود چشمه و یا چاهک برای جرم است.
معادله پایستگی تکانه:
(3-20) ∂u/∂t+u.∇u=-1/ρ ∇p+g+1/ρ ∇.T
که در آن p فشار شاره، g گرانش و T معرف تانسور وشکسانی می باشد.
معادله پایستگی انرژی:
(3-21) ρ(u.∇e-p/ρ^2 u.∇ρ)=f∇u :T
که در آن e معرف انرژی درونی شاره بوده، f فاکتور پهن رفت و T هم تانسور وشکسانی می باشد.
این سه معادله اساس کار ما در بررسی و بدست آوردن ساختار کلی قرص برافزایشی می باشد.
3-4 روابط، محاسبات و فیزیک مسئله
کاری که ما در اینجا انجام می دهیم بدین صورت است که می خواهیم در یک زمان مشخص و در یک شعاع ثابت از روی صفحه استوایی قرص، یعنی زاویه 90 درجه حرکت کرده و به سمت محور دوران قرص یعنی زوایای کوچکتر پیش برویم و یک تصویر کامل از قرص را ترسیم کنیم تا بتوانیم حضور قطعی جریان های خروجی را در انواع قرص ها به اثبـات رسانده، رفتار کمیت های مختلـف را در آن ها بیابیم و تاثیر عوامل مختلف را روی این ناحیه ها بسنجیم و ببینیم که عوامل جانبی در انواع قرص ها چگونه بر ساختار آن ها تاثیر می گذارند. معادلات هیدرودینامیک یک جریان برافزایشی را که شامل معادلات پیوستگی جرم، پایستگی اندازه حرکت و انرژی می شود را در دستگاه مختصات قطبی کروی در نظر می گیریم. قبل از حل این معـادلات ابتدا فرضیـاتی را که طبق فیزیک مسئـله وارد کرده ایم بیان می کنیم.
جریان را یکنواخت و ایستا در نظر می گیریم، بنابراین می توانیم تغییرات نسبت به زمان را برابر با صفر قرار دهیم.
(3-22) ∂/∂t=0
همچنین جریان را متقارن محوری در نظر می گیریم، بنابراین در دستگاه مختصات قطبی کروی خواهیم داشت:
(3-23) ∂/∂φ=0
گرانش حاکم بر سیستم را گرانش نیوتنی در نظر می گیریم.
(3-24) Ф=-GM/r
در رابطه با تانسور وشکسانی فرض می کنیم که تنها مولفه rφ آن غالب باشد و از آنجاییکه در مدل α کار می کنیم برای مقدار این مولفه خواهیم داشت:
(3-25) t_rφ=-αp
براساس کار نارایان و یی در سال 1995 از فاکتور پهن رفت f استفاده می کنیم [92]، به طوریکه f≡Q_adv/Q_vis بوده و این پارامتر بدین معنی می باشد که کسر f انرژی پراکنده شده، پهن رفت و به صورت آنتروپـی ذخیره می شود، در حالیـکه کسر (1-f) به صورت تابش از سیستـم خـارج می شود و ما در محاسبات اینطور فرض می کنیم که f در جریان برافزایش ثابت است [125].
حال با استفاده از روابط ∂/∂t=0 و ∂/∂φ=0 و قرار دادن آن ها در معادله پیوستگی جرم (3-19) خواهیم داشت:
(3-26) 1/r^2 ∂/∂r (r^2 ρv_r )+1/(r sin⁡θ ) ∂/∂θ (sin⁡θ ρv_θ )=0
همچنین با استفاده از فرضیات فوق و قرار دادن آن ها در معادله پایستگی تکانه (3-20) و جداسازی سه مولفه شعاعی، زاویه ای و سمتی روابط زیر را خواهیم داشت:
(3-27) v_r (∂v_r)/∂r+v_θ/r ((∂v_r)/∂θ-v_θ )-(v_φ^2)/r=-GM/r^2 -1/ρ ∂p/∂r
(3-28) v_r (∂v_θ)/∂r+v_θ/r ((∂v_θ)/∂θ+v_r )-(v_φ^2)/r cot⁡θ=-1/ρr ∂p/∂θ
(3-29) v_r (∂v_φ)/∂r+v_θ/r (∂v_φ)/∂θ+v_φ/r (v_r+v_θ cot⁡θ )=-1/(ρr^3 ) ∂/∂r (r^3 t_rφ )
همانطور که ذکر شد e در معادله انرژی، انرژی درونی بوده و به صورت زیر با فشار در ارتباط است:
(3-30) e=p_gas/(γ-1)+3p_rad
که در آن p_gas فشار گاز، p_rad فشار تابشی و γ نسبت ظرفیت گرمای ویژه می باشد.
برای بدست آوردن معادله انرژی باید علاوه بر فرضیات فوق به نکات دیگری هم توجه کرد. معادله انرژی تا اندازه ای پیچیده است. از آنجا که انرژی درونی به صورت متفاوتی به فشار گاز و فشار تابشی بستگی دارد، بنابراین برای مطرح کردن معادله انرژی باید دقت بیشتری داشته باشیم. در نگاه اول می توان تشخیص داد که فقط فشار کل p در معادلات ظاهر می شود و همچنین از فرایندهای دینامیکی نمی توان تشخیص داد که آیا فشار از گاز است یا از تابش. p_gas و p_rad به طرق مختلفی روی معادله انرژی تاثیر می گذارند که می توان برای تشریح این تاثیر از تعریف نسبت فشار β استفاده کرد.
(3-31) β≡p_gas/p=p_gas/(p_gas+p_rad )
طبق رابطه (3-12) یک حالت ویژه وجود دارد وآن وقتی است که γ=4/3 باشد، زیرا دیگر اهمیت ندارد که مقـدار β چقـدر می شود و حل به همـان صورت باقـی مانده و رابـطه (3-12) تبدیل به ρe=3p می شود، همچنین اگر جریان برافزایشی با فشار تابشی غالب باشد، یعنی β→0 باشد، باز هم ρe=3p شده و این بار ساختار جریان به γ وابسته نخواهد بود و اگر جریان برافزایشی با فشار گاز غالب باشد آنگاه داریم ρe=p/(γ-1) ، که در آن نتیجه وابسته به γ خواهد بود. بنابراین برای حالت کلی می توانیم بنویسیم:
(3-32) ρe=p_gas/(γ-1)+3p_rad=[β/(γ-1)+3(1-β)]p
از لحاظ فیزیکـی β مقادیری بین صفر و یک دارد و ما برای حل مسئله آن را مقداری ثابت در نظـر می گیریم، بنابراین ρe همواره مقادیری بین 3p و p/(γ-1) خواهد داشت. پس می توانیم انتظار داشته باشیم که حل نهایی بین دو حالت فشار گاز غالب و فشار تابشی غالب قرار داشته باشد. همانطور که اشاره کردیم نتایج دو حالت فشار گاز غالب و فشار تابشی غالب در حالت γ=4/3 یکسان هستند.
حال γ_equ را طبق رابطه زیر تعریف می کنیم:
(3-33) γ_equ=p/ρe+1=(γ-1)/(β+3(1-β)(γ-1) )+1
بنابراین طبق رابطه (3-33) خواهیم داشت:
(3-34) ρe=p/(γ_equ-1)
و این γ_equ نمایشگر γ ی هم ارزی است که اگر جریان برافزایشی به عنوان فشار گاز غالب (حتی β≠1) رفتار کند، آن را خواهد داشت. می توانیم ببینیم که اگر جریان فشار تابشی غالب باشد (β=0) آنگاه فرقی ندارد که مقدار γ چقدر باشد، و در این حالت γ_equ همواره برابر با 4/3 خواهد بود.
در اینجا ما با γ به عنوان یک ثابت رفتار می کنیم و برای هر حالت خاص می توانیم یک γ_equ را در نظر گرفته و تمام این وضعیت ها می توانند به عنوان یک جریان فشار گاز غالب با یک γ_equ به عنوان پارامتری ورودی تلقی شوند. γ معمولا مقادیری بین 7/5 برای گاز دو اتمی ایده آل و 5/3 برای گاز تک اتمی ایده آل دارد، بنابراین γ_equ مقادیری بین 4/3 و 5/3 خواهد داشت.
در انتها با توجه به فرضیات ذکر شده و قرار دادن ρe بر حسب γ_equ ، برای معادله انرژی به رابطه زیر می رسیم.
(3-35) ρ(v_r ∂e/∂r+v_θ/r ∂e/∂θ)-p/ρ (v_r ∂ρ/∂r+v_θ/r ∂ρ/∂θ)=ft_rφ r ∂/∂r (v_φ/r)
هم اکنون تمام معادلات ما بر حسب فرضیات بازنویسی شده و می توانیم برای حل آن ها اقدام کنیم، که این دسته معادلات عبارتند از:
پیوستگی جرم:
(3-36) 1/r^2 ∂/∂r (r^2 ρv_r )+1/(r sin⁡θ ) ∂/∂θ (sin⁡θ ρv_θ )=0
سه مولفه پایستگی اندازه حرکت:
(3-37) v_r (∂v_r)/∂r+v_θ/r ((∂v_r)/∂θ-v_θ )-(v_φ^2)/r=-GM/r^2 -1/ρ ∂p/∂r
(3-38) v_r (∂v_θ)/∂r+v_θ/r ((∂v_θ)/∂θ+v_r )-(v_φ^2)/r cot⁡θ=-1/ρr ∂p/∂θ
(3-39)

مطلب مشابه :  پایان نامه با کلمات کلیدیقرن نوزدهم

Author: admin3

دیدگاهتان را بنویسید