پایان نامه با کلمات کلیدی (4-9)، یونها، v ⃗_i

پیوستگی دو سیالی (4-1) برای یونها در mi و برای الکترونها در me و جمع دو معادله حاصل و با استفاده از تعاریف (4-5)تا (4-7)، رابطه زیر بدست میآید.
(4-8) ∂n/∂t+∇.(nv ⃗ )=0
این معادله شکل رایج «معادله پیوستگی سیال » را نشان میدهد، و دیگر فرقی بین انواع مختلف ذرات در بین نیست. محتوای فیزیکی معادله پیوستگی این است که در یک پلاسمای کلاسیکی و غیر نسبیتی جرم پایستار است.
ساخت معادله حرکت سیال کاری به مراتب مشکلتر است، زیرا در طی آن جملات غیر خطیn_s v ⃗_s v ⃗_s موجود در معادله (4-2) ظاهر میشوند.از اینرو میخواهیم چگونگی بدست آوردن این معادله را به صراحت نشان دهیم. برای کلیتر کردن بیشتر مسئله، بهتر آن است که جمله برخوردی سادهای را در معادله (4-2) وارد کنیم تا بتواند انتقال اندازه حرکت بین الکترونها و یونها را از طریق نوعی اصطکاک، چه به صورت اصطکاک برخوردی به مفهوم کلاسیکی آن و چه ناشی از برخوردهای غیرعادی بین دو نوع ذره ، منظور کند. وجود چنین برخوردهایی سبب پیدایش یک میدان الکتریکی صفر ناشو و جریانهای مقاومتی میشود. در نتیجه یک نوع قانون اهم در پلاسما حاکم است. بنابراین، بدست آوردن معادله پایستاری اندازه حرکت برای سیال، لزوماً به یک قانون تعمیم یافته اهم، به عنوان دومین معادله ابزاری برای پلاسما منجر میشود، که جریانهای محیط را به میدان الکترومغناطیسی پیوند میدهد. جمله برخوردی توسط R ⃗=R ⃗_ie=-R ⃗_ei تعریف میشود. چون این جمله انتقال اندازه حرکت از یونها به الکترونها را در معادله یونی و از الکترونها به یونها را در معادله الکترونی توصیف میکند، لذا پایستاری اندازه حرکت منتقله ایجاب میکند که دو جمله مذکور مقادیر مساوی ولی علامات مختلف داشته باشند. بنابراین دو معادله اندازه حرکت عبارت میشوند از :
(4-9) (∂(n_e v ⃗_e))/∂t+∇.(n_e v ⃗_e v ⃗_e )=-1/m_e ∇.P ⃗_e+(n_e e)/m_e (E ⃗+v ⃗_e×B ⃗ )-R ⃗/m_e
(∂(n_i v ⃗_i))/∂t+∇.(n_i v ⃗_i v ⃗_i )=-1/m_i ∇.P ⃗_i+(n_i e)/m_i (E ⃗+v ⃗_i×B ⃗ )+R ⃗/m_i
معادله حرکت تک سیالی با جمع این دو معادله و با استفاده از تعریفهای بالا برای mوnوv ⃗وj ⃗و ρبدست میآید.اگر معادله اول را در me و معادله دوم را در mi ضزب کرده، و با هم جمع کنیم، دو جمله برخوردی حذف میشوند، و سمت راست معادله به صورت زیر در میآید.
(4-10) -∇.(〖P ⃗_e+P ⃗〗_i )+e(n_i-n_e ) E ⃗+(n_i v ⃗_i-n_e v ⃗_e )×B ⃗=-∇.P ⃗+ρE ⃗+j ⃗×B ⃗
که در آن تانسور فشار کل برابر P ⃗=P ⃗_e+P ⃗_i است، و با استفاده از تعاریف بار فضا ، در معادله (4-9) پس از جمع کردن و ملاحظه تعریف سرعت حجمی سیال در معادله (4-7)، سمت چپ رابطه (4-9) به صورت زیر درمیآید.
(4-11) ∂/∂t (m_e n_e v ⃗_e+m_i n_i v ⃗_i )=∂/∂t(nmv ⃗)
در جمله غیر خطی دوم معادله (4-9) از کوچکی جرم الکترون m_e≪m_i بهره میگیریم، و فرض میکنیم که دو چگالی تقریباً مساویند. در این مورد n_i≈n_e بوده، و جمله غالب در جمع m_i n_i (v ⃗_i v ⃗_i+v ⃗_e v ⃗_e ((m_e n_e)/(m_i n_i ))) اولین جمله یونی است. با این تقریب که برای پلاسماهای شبه خنثی نسبتاً خوب است، معادله حرکت به صورت زیر در میآید.
(4-12) ∂/∂t (nmv ⃗ )+∇.(nmv ⃗v ⃗ )=-∇.P ⃗+ρE ⃗+j ⃗×B ⃗
این معادله پایستاری اندازه حرکت در مغناطوهیدرودینامیک است.
معادله پایستاری اندازه حرکت (4-12) شامل چگالی جریان الکتریکی، j ⃗ ، به صورت متغییر جدید است. بنابراین برای بستن دستگاه و معادلات، به یک عبارت اضافی برای تحول j ⃗ نیاز داریم. این معادله همان |«قانون اهم تعمیم یافته» یک پلاسماست. که از تفریق معادلات اندازه حرکت دو سیال (4-9) بدست میآید. پس از تفریق دو معادله از m_i فاکتور میگیریم، همچنین جمله اول سمت چپ را در e ضرب و تقسیم میکنیم. برای چگالیهای جریان کوچک، میتوان از جملات مجذوری سرعتها ، یعنی جملات دوم سمت چپ معادلات اندازه حرکت، چشمپوشی کرد. در این صورت به سادگی میتوان نشان داد که چگالی جریان در رابطه زیر صادق است.
(4-13) m_e/e (∂j ⃗)/∂t=∇.(P ⃗_e-m_e/m_i P ⃗_i )-(1+m_e/m_i ) R ⃗+n_e e(1+(m_e n_i)/(m_i n_e ))[E ⃗+(v ⃗_e+(m_e n_i)/(m_i n_e ) v ⃗_i)×B ⃗]
سمت راست این معادله باز شامل چگالیها، سرعتها و فشارهای جزیی است، با این وجود، با استفاده از معادلات (4-5) تا (4-7) امکان جایگزینی آنها وجود دارد. وقتی که از جملات با نسبتهای کوچک جرم m_e/m_i ≪1 چشمپوشی کنیم، و شبه خنثایی n≈n_i≈n_e را قبول کنیم، روابط جبری سادهتر میشوند. در این صورت فقط فشار الکترونی در اولین جمله سمت راست معادله بالا نقش بازی میکند. علاوه بر این، شبه خنثایی، جملات شامل E ⃗ و B ⃗ را ساده میکند. به ویژه آنکه حذف جمله شامل v ⃗_i را ممکن میسازد. بنابراین معادله بالا را میتوان دوباره به صورت زیر نوشت.
(4-14) m_e/e (∂j ⃗)/∂t=∇.P ⃗_e+n_e e(E ⃗+v ⃗_e×B ⃗)-R ⃗
جمله لورنتز E ⃗+v ⃗_e×B ⃗ در سمت راست تنها سرعت الکترونی را شامل میشود، بنابراین حتی در نظریه تک سیالی، سیال الکترونی به صورت متفاوتی با سیال یونی رفتار میکند و اثر بزرگتری روی جریان دارد. به ویژه در حالت ایستایی آرمانی، سیال الکترونی شدیدتر از یونها به میدان مغناطیسی وابستهاند.
باز هم با حذف نسبت کوچک جرمها و با پذیرش شبه خنثایی، میتوان یک عبارت سیالی برای سرعت الکترونی پیدا کرد، زیرا با این فرض، معادله (4-7) را میتوان به صورت زیر نوشت .
(4-15) v ⃗_i=v ⃗

مطلب مشابه :  پایان نامه رایگان با موضوعبستنی، گیری، سی

Author: admin3

دیدگاهتان را بنویسید